Invertibility Av En Glidande Medelvärde Processen

2 1 Flytta genomsnittliga modeller MA modeller. Tidsseriemodeller som kallas ARIMA-modeller kan innefatta autoregressiva termer och eller glidande medelvärden. I vecka 1 lärde vi oss en autoregressiv term i en tidsseriemodell för variabeln. Xt är ett fördröjt värde av xt Till exempel , En lag 1-autoregressiv term är x t-1 multiplicerad med en koefficient Denna lektion definierar glidande medelvärden. En glidande medelfrist i en tidsseriemodell är ett tidigare fel multiplicerat med en koefficient. Låt wt överskridas N 0, sigma 2w, vilket betyder Att vikten är identiskt, oberoende distribuerad, var och en med en normal fördelning med medelvärde 0 och samma varians. Den 1 st ordningsrörande genomsnittsmodellen betecknad med MA 1 är. Xt mu wt theta1w. Den 2: a beställer rörlig genomsnittsmodell, betecknad med MA 2 är. Xt mu wt theta1w theta2. Den q-ordningsrörelserna medellägesmodellen, betecknad med MA q är. Xt mu wt theta1w theta2w prickar thetaqw. Note Många läroböcker och programvara definierar modellen med negativa tecken före villkoren. Detta förändrar inte de allmänna teoretiska egenskaperna hos modellen, även om den vrider de algebraiska tecknen på uppskattade koefficientvärden och oskydda termer i Formler för ACF och avvikelser Du måste kontrollera din programvara för att verifiera om negativa eller positiva tecken har använts för att korrekt skriva den beräknade modellen R använder positiva tecken i sin underliggande modell, som vi gör här. De teoretiska egenskaperna hos en tidsserie med En MA 1-modell. Notera att det enda nonzero-värdet i teoretiskt ACF är för lag 1 Alla andra autokorrelationer är 0 Således är ett sampel ACF med en signifikant autokorrelation endast vid lag 1 en indikator på en möjlig MA 1-modell. För intresserade studenter, Bevis på dessa egenskaper är en bilaga till denna handout. Exempel 1 Antag att en MA 1-modell är xt 10 wt 7 w t-1 där wt överför N 0,1 Således koefficienten 1 0 7 Th E teoretisk ACF ges av. En plot av denna ACF följer. Den plott som just visas är den teoretiska ACF för en MA 1 med 1 0 7 I praktiken har ett prov som vunnits t ge ett så tydligt mönster. Med hjälp av R simulerade vi n 100 Provvärden med hjälp av modellen xt 10 wt 7 w t-1 där w t. iid N 0,1 För denna simulering följer en tidsserieplot av provdata. Vi kan inte berätta mycket från denna plot. Provet ACF för den simulerade Data följer Vi ser en spik vid lag 1 följt av allmänt icke signifikanta värden för lags över 1 Observera att provet ACF inte matchar det teoretiska mönstret för den underliggande MA 1, vilket är att alla autokorrelationer för lags över 1 kommer att vara 0 A Olika prov skulle ha ett något annorlunda prov ACF som visas nedan, men skulle troligen ha samma breda egenskaper. Deoretiska egenskaperna hos en tids serie med en MA 2-modell. För MA 2-modellen är teoretiska egenskaper följande. Notera att den enda nonzero Värden i teoretisk ACF är för lags 1 och 2 autocorrelat Joner för högre lags är 0 Så, ett ACF-prov med signifikanta autokorrelationer vid lags 1 och 2, men icke-signifikanta autokorrelationer för högre lags indikerar en möjlig MA 2-modell. N 0,1 Koefficienterna är 1 0 5 och 2 0 3 Eftersom detta är en MA 2, kommer den teoretiska ACF endast att ha nonzero-värden endast vid lags 1 och 2.Values ​​av de två icke-oberoende autokorrelationerna är. En plot av den teoretiska ACF följer. Som nästan alltid är fallet, samplingsdata som vunnit t uppträder ganska Så perfekt som teori Vi simulerade n 150 provvärden för modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 var w t. iid N 0,1 Tidsseriens plot av data följer Som med tidsseriens plot för MA 1-provdata kan du inte berätta mycket för. Provet ACF för den simulerade data följer Mönstret är typiskt för situationer där en MA 2-modell kan vara användbar. Det finns två statistiskt signifikanta spikar vid lags 1 och 2 följt av icke - - värda värden för andra lags Observera att på grund av provtagningsfel stämde provet ACF inte Det teoretiska mönstret exactly. ACF för General MA q Models. A egenskap av MA q modeller i allmänhet är att det finns icke-oberoende autokorrelationer för de första q lagsna och autokorrelationerna 0 för alla lags q. Non-unikhet av samband mellan värdena på 1 och rho1 I MA 1-modell. I MA 1-modellen, för vilket värde som helst av 1, ger den ömsesidiga 1 1 samma värde. För exempel, använd 0 5 för 1 och använd sedan 1 0 5 2 för 1 Du får rho1 0 4 I båda fallen. För att tillfredsställa en teoretisk begränsning som kallas invertibilitet begränsar vi MA1-modellerna till att ha värden med absolutvärdet mindre än 1 I exemplet just givet är 1 0 5 ett tillåtet parametervärde medan 1 1 0 5 2 inte kommer att. Invertibility av MA modeller. En MA-modell sägs vara omvändbar om den är algebraiskt ekvivalent med en konvergerande oändlig ordning AR-modell. Genom konvertering menar vi att AR-koefficienterna minskar till 0 när vi flyttar tillbaka i tiden. Invertibility är en begränsning programmerad till Tidsserie programvara som används för att uppskatta coeff Modeller av modeller med MA-termer Det är inte något som vi söker efter i dataanalysen Ytterligare information om invertibilitetsbegränsningen för MA 1-modeller finns i bilagan. Avancerad teorinotering För en MA q-modell med en specificerad ACF finns det endast En omvänd modell Den nödvändiga förutsättningen för inverterbarhet är att koefficienterna har värden så att ekvationen 1- 1 y - qyq 0 har lösningar för y som faller utanför enhetens cirkel. R Kod för exemplen. I exempel 1 ritade vi Teoretisk ACF av modellen xt 10 wt 7w t-1 och sedan simulerade n 150 värden från denna modell och ritade provtidsserierna och provet ACF för de simulerade data R-kommandona som användes för att plotta den teoretiska ACF var. acfma1 ARMAacf ma c 0 7, 10 lags av ACF för MA 1 med theta1 0 7 lags 0 10 skapar en variabel som heter lags som sträcker sig från 0 till 10 plot lags, acfma1, xlim c 1,10, ylab r, typ h, huvud ACF för MA 1 Med theta1 0 7 abline h 0 lägger en horisontell axel till plot. Th E första kommandot bestämmer ACF och lagrar det i ett objekt med namnet acfma1 vårt val av namn. Plot-kommandot 3: e kommandotyperna lags mot ACF-värdena för lags 1 till 10 ylab-parametern markerar y-axeln och huvudparametern sätter en Titel på plottet. För att se de numeriska värdena för ACF använder du bara kommandot acfma1. Simuleringen och diagrammen gjordes med följande kommandon. Lista ma c 0 7 Simulerar n 150 värden från MA 1 x xc 10 lägger till 10 för att göra medelvärdet 10 Simulering standardvärden betyder 0 diagram x, typ b, huvud Simulerat MA 1 data acf x, xlim c 1,10, huvud ACF för simulerade Provdata. I exempel 2 ritade vi den teoretiska ACF av modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 och simulerade sedan n 150 värden från denna modell och ritade provtidsserierna och provet ACF för den simulerade Data R-kommandona som användes var. acfma2 ARMAacf ma c 0 5,0 3, acfma2 lags 0 10 plot lags, acfma2, xlim c 1,10, ylab r, typ h, huvud ACF för MA2 med theta1 O5, theta2 O 3 abline h 0 lista ma c 0 5, 0 3 x xc 10 plot x, typ b, huvud Simulerad MA 2-serie acf x, xlim c 1,10, huvud ACF för simulerade MA 2 Data. Appendix Bevis av egenskaper hos MA 1 . För intresserade studenter är här bevis på teoretiska egenskaper hos MA 1-modellen. Variantext xt text mu wt theta1 w 0 text wt text theta1w sigma 2w theta 21 sigma 2w 1 theta 21 sigma 2When h 1, föregående uttryck 1 W 2 För någon h 2 , Det föregående uttrycket 0 Anledningen är att, enligt definitionen av oberoende av Wt E wkwj 0 för någon kj vidare, eftersom wt har medelvärdet 0, E wjwj E wj 2 w 2.For en tidsserie. Använd detta resultat för att få ACF ges ovan. En inverterbar MA-modell är en som kan skrivas som en oändlig ordning AR-modell som konvergerar så att AR-koefficienterna konvergerar till 0 när vi rör sig oändligt tillbaka i tiden. Vi ska visa omvändlighet för MA 1-modellen. Vi då Substitutionsförhållande 2 för w t-1 i ekvation 1. 3 zt wt theta1 z-theta1w wt theta1z-theta 2w. At tiden t-2 ekvation 2 blir. Vi ersätter sedan förhållandet 4 för w t-2 i ekvation 3. zt wt Theta1 z - theta 21w wt theta1z - theta 21 z - theta1w wt theta1z - theta1 2z theta 31.Om vi ​​skulle fortsätta oändligt, skulle vi få oändlig ordning AR - modellen. Zt wt theta1 z - theta 21z theta 31z - theta 41z prickar. Observera att om 1 1 kommer koefficienterna som multiplicerar lagren av z ökar oändligt i storlek när vi flyttar tillbaka i tiden. För att förhindra detta behöver vi 1 1 Detta är Villkoret för en inverterbar MA 1-modell. Infinite Order MA-modellen. I vecka 3 ser vi att en AR 1-modell kan konverteras till en oändlig MA-modell. Xt - mu wt phi1w phi 21w prickar phi k1 w prickar summa phi j1w. Denna summering av tidigare vita ljudvillkor är känd som kausalrepresentation av en AR 1 Med andra ord är xt en speciell typ MA med ett oändligt antal termer Går tillbaka i tid Detta kallas ett oändligt order MA eller MA En ändlig ordning MA är en oändlig ordning AR och någon ändlös ordning AR är en oändlig ordning MA. Recall i vecka 1 noterade vi att ett krav på en stationär AR 1 är att 1 1 Låt oss beräkna Var xt med hjälp av kausalrepresentationen. Detta sista steg använder ett grundläggande faktum om geometriska serier som kräver phi1 1 annars serierna avviker. Invertibility av MA q Processes. Just som vi kan definiera en oändlig ordning med glidande medelprocess Vi kan också definiera en oändlig ordningsautoregressiv process. AR Det visar sig att en stationär MA q-process kan uttryckas som en AR-process. E g antar att vi har en MA 1-process med 0. Fortsätt på detta sätt, efter n steg vi har . Som ett resultat har vi. Det visar sig att om 1 1 t Hönan denna oändliga serien konvergerar till ett ändligt värde. Sådana MA q processer kallas invertible. Property 1 Om 1 1 då är MA 1-processen invertibel. Realstatistik Funktionen Real Statistics Resource Pack tillhandahåller följande array-funktion där R1 är ett q 1-intervall Innehållande theta-koefficienterna i polynomet där q är i det första läget och 1 är i den sista positionen. Märutom R1 returnerar ett q3-område där varje rad innehåller en rot och där den första kolumnen består av den verkliga delen av rötterna, Den andra kolumnen består av den imaginära delen av rötterna och den tredje kolumnen innehåller det absoluta värdet på rötterna. Den här funktionen kallar ROOTS-funktionen som beskrivs i Roots of a Polynomial Note att, precis som i ROOTS-funktionerna, kan MARoots-funktionen ta Följande valfria argumenter. precerar precisionen av resultatet, dvs hur nära noll är acceptabelt Detta värde är vanligtvis 0 00000001.iter det maximala antalet iteration som utförts när du utför bast Ow s Metod Standard är 50.r, s de ursprungliga frösvärdena när du använder Bairstow s Metod Dessa standard till noll. Exempel 1 Bestäm om följande MA 3-process är invertibel. Vi sätter in matrisformeln MARoots B3 B5 inom intervall D3 F5 till Få de resultat som visas i Figur 1.Figur 1 Rötter av en MA 3-process. Vi ser att de tre rötterna i den karakteristiska ekvationen är - 605828 1 23715 i - 605828 1 23715 I och -0 87832 Eftersom det absoluta värdet av den verkliga roten Är mindre än 1 konkluderar vi att processen inte är omvändbar. På omvändbarhetsförhållandena för att flytta genomsnittsprocesser. Anderson 3 avledade villkor för den allmänna rörliga genomsnittsprocessen, av order q, att vara omvändbar eller gränsen icke inverterbar. Han benämnade villkoren Som acceptabilitetsförhållanden. Visa abstrakt Dölj abstrakt ABSTRAKT I denna uppsats presenterar vi en inverterad form av autoregressiva integrerade rörliga genomsnittsprocesser ARIMA av olika order. Undersökningen utfördes på beteendemönstret av inverterbarhetsparametern för ARIMA p, d, q för olika p och d. Det var Härledde att beteendet hos invertibilitetsparametern beror på ordningen av den autoregressiva delen p, ordningen med integrerad del d, positiva och negativa värden för glidande medelparameter. Art. nr 2011 Förskott i tillämpad sannolikhet. Olusola Samuel Makinde Olusoga Akin Fasoranbaku. Visa abstrakt Dölj abstrakt ABSTRAKT Spektralfaktoriseringsproblemet löstes i Hallin 1984 för klassen av icke-stationära m-variata MA q-stokastiska processer, det vill säga klassen av andra ordningens q-beroende processer. Det visades att en sådan process i allmänhet medger en Oändlig mq mq 1 2-dimensionell familj av möjliga MA q-representationer Nuvarande papper behandlar de inverterbara egenskaperna och det asymptotiska beteendet hos dessa MA q-modeller, i samband med problemet med att producera asymptotiskt effektiva prognoser. Omvända och icke-inverterbara gränser karakteriseras teoretiker 3 1 och 3 2 Ett kriterium tillhandahålls teorem 4 1 genom vilket det kan kontrolleras huruvida en given MA-modell är en Wold-Cramr sönderdelning eller ej och det visas teorem 4 2 att under milda förhållanden är nästan varje MA-modell asymptotiskt Identisk med någon Wold-Cramr sönderdelning Prognosproblemet undersöks i detalj, och det är uppbyggt att det relevanta invertibility-konceptet, med I förhållande till asymptotisk prognos effektivitet är det som vi definierar som Granger-Andersen invertibility snarare än det klassiska invertibility-konceptet. Steg 5 3 Egenskaperna hos detta nya invertibility-koncept studeras och står i motsats till de klassiska motsvarigheterna. Teorierna 5 2 och 5 4 Numeriska exempel är Behandlade också avsnitt 6, som illustrerar det faktum att icke-inverterbara modeller kan ge asymptotiskt effektiva prognoser, medan inverterbara modeller, i vissa fall, kanske inte. De matematiska verktygen i hela pappret är linjära skillnadsekvationer. Grön s matriser, anslutna operatörer, dominerade lösningar etc , Och en matrisgeneralisering av fortsatta fraktioner. Art. nr. 1986.Marc Hallin.